Paso 16: Modelo matemático de la planta*

1 Introducción
El objetivo de éste apartado es el desarrollo, análisis y posterior simulación del modelo matemático del sistema. Para ello, debemos contar con un planteo lo más riguroso posible de la planta real, pero sin caer en un esquema que resulte complejo de implementar más adelante.

Por éste motivo, se toma el conjunto de ecuaciones que describen la dinámica del sistema para linealizarlas y aplicar herramientas de estudio para sistemas lineales, como la ubicación de los ceros y polos, calcular ancho de banda, ganancia de contínua, tiempo de subida y tiempo de establecimiento.

Finalmente, se contraponen la simulación del modelo lineal al modelo no lineal, con el objeto de verificar la linealización de las ecuaciones para pequeñas oscilaciones del péndulo.


1.1 Modelo Matemático
Por razones de espacio y tiempo, no detallaremos todos los pasos dados para hallar el modelo lineal invariante en el tiempo del sistema, sino que nos limitaremos a expresar el modelo matemático en espacio de estados. Cuando tengamos una versión definitiva del documento, publicaremos el texto completo.

Las variables de estados quedan expresadas como,


Modelo lineal e invariante en el tiempo definido como,


1.2 Características del sistema lineal a lazo abierto
A partir del modelo desarrollado, es preciso simular el comportamiento de la planta, con el fin de verificar que las ecuaciones que la describen son coherentes con la realidad.

Inicialmente, el estudio se basa en la dinámica de la planta a lazo abierto ya que la ubicación de sus polos y ceros en el plano complejo implican un ancho de banda, ganancia de continua, error de régimen permanente y demás características, que definirán el tipo de estrategia de control a emplear.

A continuación puede verse la simulación implementada en Simulink


1.3 Parámetros de simulación
Las constantes que se emplean en el modelo de la sección 1.1, especifican las matrices A, B y C de la ecuación de estados. Se deberá tener en cuenta que muchos de los valores expuestos aquí son arbitrarios y su único fin es el delograr una primera aproximación al sistema físico construido.

Va=24 Vcc Tensión nominal
mc=1.5 kg Masa carga
mt=20 kg Masa carro principal
R=0.065 m Radio polea
Jmp=5e-5 kg·m2 Inercia motor-reductor-polea
n=35.55 Reducción
L=1.2 m Longitud de la barra
Tm=0.16 seg Constante de tiempo motor-reductor-polea
Ra=3 ohm Resistencia armadura
K=0.03 Nm/A Constante par motor

Numéricamente,


1.3.1 Ancho de banda
Otra propiedad importante de la respuesta transitoria del sistema está dada por el ancho de banda. Con éste índice podemos saber qué frecuencias se filtrarán, como así también tener una noción de la sensibilidad de la planta a la variación de sus parámetros ([Kuo96], p.544).



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* Versión reducida e incompleta